Question

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为,点P(1，)和A、B都在椭圆E上，且＋＝m(m∈R)．
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
(2)当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．

Answer 1

（1）由=及解得a²=4，b²=3， 椭圆方程为；……2分
设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂），由得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即 
又，，两式相减得
; ………………………6分
（2）由（1）知，点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的坐标满足，
点P的坐标为（1，）, m=-3，   于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，   
因此△PAB的重心坐标为(0，0)．即原点是△PAB的重心.
∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-，∴AB中点坐标为（，），………………………10分
又，，两式相减得
;         
∴直线AB的方程为y+=(x+),即x+2y+2=0.

(1)由椭圆上的点P，及离心率可以建立关于a,b,c的两个方程，再根据a²=b²+c²,解方程组即可。根据＋＝m,然后坐标化即可用m表示出x₁+x₂,y₁+y₂，然后把A、B坐标代入椭圆方程，作差即可求出AB的斜率。
(2)在第（1）问的基础上根据重心坐标公式即可求解。