Question

18．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x^3}+9，x≤0}\end{array}}\right.$，若关于x的方程f（x²+2x）=a有6个不同的实根，则实数a的取值范围是（8，9]．

Answer 1

分析 作函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x^3}+9，x≤0}\end{array}}\right.$的图象，从而由题意可得x²+2x=m有两个解，f（x）=a有三个都大于-1的解，从而解得．

解答 解：作函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{x^3}+9，x≤0}\end{array}}\right.$的图象如右图，
∵x²+2x=m最多有两个解，f（x）=a最多有三个解，
∴当x²+2x=m有两个解，f（x）=a有三个解时，
方程f（x²+2x）=a有6个不同的实根；
若使f（x）=a有三个解，则2＜a≤9；
若使x²+2x=m有两个解，则m＞-1；
故f（x）=a的三个解都大于-1；
故x＞-1，故x³+9＞8，
故实数a的取值范围是：（8，9]；
故答案为：（8，9]．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了函数与方程的关系应用．