Question

下列命题中正确的有

 

．（填上所有正确命题的序号）
①若f（x）可导且f'（x₀）=0，则x₀是f（x）的极值点；
②函数f（x）=xe^-x，x∈[2，4]的最大值为2e^-2；
③已知函数f(x)=

-x2+2x

，则∫_1f(x)dx的值为

π

4

；
④一质点在直线上以速度v=t²-4t+3（m/s）运动，从时刻t=0（s）到t=4（s）时质点运动的路程为

4

3

(m)．

Answer 1

分析：利用极值点满足的条件判断出命题①错；通过对函数求导数，判断出导函数的符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值，判断出②对；利用定积分的几何意义，判断出③对；利用对速度求定积分得到路程判断出④对．

解答：解：对于①，极值点满足的条件是导数为0，且左右两边的函数值符号相反，故①错
对于②，f′（x）=e^-x（1-x），∵x∈[2，4]∴f′（x）＜0∴f（x）在[2，4]上为减函数，故f（x）的最小值是f（2）=2e^-2
对于③，f(x)=

-x2+2x

的图象是上半个圆，∴∫₀¹f（x）d_x表示

1

4

个圆，所以面积为

π

4

，故③对
对于④，从时刻t=0（s）到t=4（s）时质点运动的路程为

∫

4 0

(t2-4t+3)dt=

4

3

，故④对
故答案为②③④

点评：本题考查极值点满足的条件、考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查利用函数的单调性求函数的最值、考查定积分的几何意义及定积分在物理上的应用．