Question

【题目】某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．

付款方式	分3期	分6期	分9期	分12期
频数	20	20	a	b

（1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；
（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 =0.4，得a=40，

∵20+a+20+b=100，∴b=20

记分期付款的期数为ξ，依题意得：

P（ξ=3）= =0.2，P（ξ=6）= =0.2，P（ξ=9）= =0.4，P（ξ=12）= =0.2．

则“购买该品牌汽车的3为顾客中至多有1位采用3期付款”的概率

P（A）= + =0.896

（2）解：按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，则顾客分3期付款与分6期付款的各为1人，分9期付款的为2人，分12期付款为1人．则η的可能取值为5，6，7．

P（η=5）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=9）+P（ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=9）= + = ．

P（η=6）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=12）+P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=9）+P（ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=12）= = ，

P（η=7）=P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=12）+P（ξ=9）×P（ξ=9）×P（ξ=12）= = ．

列表如下：

η	5	6	7
P	0.3	0.4	0.3

所以η的数学期望E（η）=5×0.3+6×0.4+7×0.3=6（万元）

【解析】（1）由 =0.4，得a=40，20+a+20+b=100，解得b．记分期付款的期数为ξ，依题意即可得出其概率．进而定点“购买该品牌汽车的3为顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）．（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，则顾客分3期付款与分6期付款的各为1人，分9期付款的为2人，分12期付款为1人．则η的可能取值为5，6，7．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得其概率，进而得到分布列与数学期望．