Question

若函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m在区间[0，

π

2

]上的最大值为2，将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移

π

6

个单位，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）解析式；  
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又g（

π

2

-A）=

8

5

，b=2，△ABC的面 积等于3，求边长a的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数间的恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1+m，从而可求得当x∈[0，

π

2

]时，f（x）_max=3+m=2，可求得m，继而可得函数f（x）解析式；
（2）依题意，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=2sinx，在△ABC中，由g（

π

2

-A）=

8

5

即可求得cosA，继而可得sinA的值，又b=2，S_△ABC=

1

2

bcsinA=3，可求得c，最后利用余弦定理即可求得a．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m
=

3

sin2x+1+cos2x+m
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1+m
=2sin（2x+

π

6

）+1+m，
又x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴m≤2sin（2x+

π

6

）+1+m≤3+m；
∵函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1+m在区间[0，

π

2

]上的最大值为2，
∴3+m=2，解得m=-1．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴将函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=h（x）=2sin（x+

π

6

）的图象，
∴g（x）=h（x-

π

6

）=2sin[（x-

π

6

）+

π

6

]=2sinx．
∵在△ABC中，g（

π

2

-A）=

8

5

，即2sin（

π

2

-A）=

8

5

，
∴cosA=

4

5

，
∴sinA=

3

5

，又b=2，S_△ABC=

1

2

bcsinA=3，
解得c=5，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=4+25-2×2×5×

4

5

=13，
解得a=

13

．

点评：本题考查二倍角的余弦，考查三角函数间的恒等变换，突出考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及正弦定理与余弦定理，属于难题．