【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,0)和单位圆上的两点B(1,0),C(-,),点P是劣弧上一点,∠BOC=α,∠BOP=β.
(Ⅰ)若OC⊥OP,求sin(π-α)+sin(-β)的值;
(Ⅱ)设f(t)=|+t|(t∈R),当f(t)的最小值为1时,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
由已知可得,,,P(cosβ,sinβ).
(Ⅰ),得sinβ=sin()=-cos.然后利用三角函数的诱导公式化简求值即可;
(Ⅱ)由|+t|=(2+tcosβ,tsinβ),得f(t)=,进一步得到f(t)min=,求出β的值,得到P点坐标,再由平面向量数量积的坐标运算求的值.
由已知可得,,,P(cosβ,sinβ).
(Ⅰ)∵,
∴sinβ=sin()=-cos.
∴sin(π-α)+sin(-β)=sinα-sinβ=;
(Ⅱ)∵|+t|=(2+tcosβ,tsinβ),
∴f(t)==
∴f(t)min=,
∴.
∵0<β<α,
∴.
∴,即P(,).
∴=.
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【题目】已知圆C:,直线过定点.
(1)若与圆相切,求的方程;
(2)若与圆相交于两点,线段的中点为,又与的交点为,判断是否为定值.若是,求出定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知椭圆E: =1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(2)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|,并求λ的值.
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【题目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司为推广线下分店,计划在S市的A区开设分店.为了确定在该区开设分店的个数,该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x表示在各区开设分店的个数,y表示这x个分店的年收入之和.
x(个) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y(百万元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(1)在年收入之和为2.5(百万元)和3(百万元)两区中抽取两分店调查,求这两分店来自同一区的概率
(2)该公司已经过初步判断,可用线性回归模型拟合y与x的关系,求y关于x的线性回归方程;
(3)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位:百万元)与x,y之间的关系为z=y-0.05x2-1.4,请结合(1)中的线性回归方程,估算该公司应在A区开设多少个分店,才能使A区平均每个分店的年利润最大?
参考公式:
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【题目】节能减排以来,兰州市100户居民的月平均用电量单位:度,以分组的频率分布直方图如图.
求直方图中x的值;求月平均用电量的众数和中位数;
估计用电量落在中的概率是多少?
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【题目】将红、黑、蓝、白5张纸牌(其中白纸牌有2张)随机分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得1张,则下列两个事件为互斥事件的是( )
A. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”
B. 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”
C. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”
D. 事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”
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