Question

（2013•东城区二模）已知函数f（x）=sinx（

3

cosx-sinx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈（0，

2π

3

）时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+

π

6

）-

1

2

，由此求得f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 因为 0＜x＜

2π

3

，根据正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sinx（

3

cosx-sinx）=

3

sinxcosx-sin²x
=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，
所以，f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．
（Ⅱ） 因为 0＜x＜

2π

3

，所以，

π

6

＜2x+

π

6

＜

3π

2

，
∴-1＜sin（2x+

π

6

）≤1，-

3

2

＜sin（2x+

π

6

）-

1

2

≤

1

2

，
所以，f（x）的取值范围是 （-

3

2

，

1

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．