分析 (1)取BF的中点G,连结DG、PG,DG∥AF,EF∥PG,从而平面PDG∥平面AEF,由此能证明PD∥平面AEF.
(2)取AC的中点H,连结EH,则EH⊥平面ABC,过H作HM⊥AF于M,连结EM,过H作HN⊥EM于N,连结AN,则∠HAN为AC于平面AEF所成的角,由此能求出AC与平面AEF所成角的正弦值.
解答 证明:(1)取BF的中点G,连结DG、PG,
∵D是AB的中点,∴DG∥AF,又BF=2FC,∴F为CG的中点,
又E为PC的中点,∴EF∥PG,
又EF∩AF=F,∴平面PDG∥平面AEF,
∴PD∥平面AEF.
解:(2)取AC的中点H,连结EH,则EH⊥平面ABC,
过H作HM⊥AF于M,连结EM,
∴AF⊥平面EHM,∴平面AEF⊥平面EHM,
过H作HN⊥EM于N,即HN⊥平面AEF,
连结AN,则∠HAN为AC于平面AEF所成的角,
在等腰Rt△ABC中,设AC=1,则CF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$,∠ACB=$\frac{π}{4}$,
∴AF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$,cos$∠CAF=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,即sin$∠CAF=\frac{\sqrt{5}}{5}$,
在Rt△AHM中,HM=AH•sin$∠CAF=\frac{\sqrt{5}}{10}$,
在Rt△EHM中,EH=$\frac{1}{2}$,EM=$\sqrt{E{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$,即HN=$\frac{EH×MH}{EM}=\frac{\sqrt{6}}{12}$,
在Rt△AHN中,sin∠HAN=$\frac{NH}{AH}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
∴AC与平面AEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
点评 本题考查线面平行的证明,考查线面所成角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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A. | 4 | B. | -4 | C. | 2 | D. | -2 |
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A. | 8 | B. | 8+8$\sqrt{2}$ | C. | 8$\sqrt{2}$ | D. | 4+8$\sqrt{2}$ |
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