Question

设实数x，y同时满足条件：4x²-9y²=36，且xy＜0．
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

分析：（1）将含y的移到一侧，然后开根号即可求出函数y=f（x）的解析式，再根据4x²-36=9y²＞0求出x的范围，从而得到函数的定义域．
（2）分段函数奇偶性的判定可分段进行，先判断定义域是否对称，然后根据函数奇偶性的定义进行判定即可．

解答：解：（1）因为4x²-9y²=36，所以y=±

2

3

x2-9

．因为xy＜0，所以y≠0．
又因为4x²-36=9y²＞0，所以x＞3或x＜-3．（2分）
因为xy＜0，所以f(x)=

2 3 x2-9 ，x＜-3 - 2 3 x2-9  x＞3.

（6分）
函数y=f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞）．（8分）
（2）当x＜-3时，-x＞3，
所以f（-x）=-

2

3

(-x)2-9

=-

2

3

x2-9

=-f（x）．（10分）
同理，当x＞3时，有f（-x）=-f（x）．（12分）
综上，任意取x∈（-∞，-3）∪（3，+∞），
都有f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数．（14分）

点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及函数奇偶性的判断，奇偶性是函数的重要性质，是高考中常考的知识点，属于基础题．