Question

已知函数，.
（1）求函数的最小值；
（2）若，证明：当时，.

Answer 1

（1）h(0)＝0；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，考查学生的函数思想.第一问，先得到表达式，对求导，利用“单调递增；单调递减”解不等式求函数的单调区间，利用函数的单调性确定最小值所在的位置；第二问，先将和代入到所求的式子中，得到①式，再利用第一问的结论，即，即得到，通过且得，在上式中两边同乘得到②式，若成立则所求证的表达式成立，所以构造函数φ(t)＝(1－t)^k－1＋kt，证明即可.
（1）h(x)＝f(x)－g(x)＝e^x－1－x，h¢(x)＝e^x－1．
当x∈(－∞，0)时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增．
当x＝0时，h(x)取最小值h(0)＝0．       4分
（2）即．   ①
由（1）知，，即，
又，则．
所以．       ②  7分
设φ(t)＝(1－t)^k－1＋kt，t∈[0，1]．
由k＞1知，当t∈(0，1)时，φ¢(t)＝－k(1－t)^k－1＋k＝k[1－(1－t)^k]＞0，
φ(t)在[0，1]单调递增，当t∈(0，1)时，φ(t)＞φ(0)＝0．
因为，所以，
因此不等式②成立，从而不等式①成立．      12分