Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₁=2，且其前10项和为65，又正项数列{b_n}满足bn=

n+1

an

 (n∈N*)
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）比较b₁，b₂，b₃，b₄的大小；
（3）求数列{b_n}的最大项；
（4）令c_n=lga_n，数列{c_n}是等比数列吗？说明理由．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，由题设条件得d=1，从而a_n=n+1，由此可得到bn=

n+1	n+1

．
（2）由题设条件知b1=

2

=

6	23

＜

6	32

=

3	3

=b2b3=

4	4

=

2

=b1，b3=

4	4

=

20	45

＞

20	54

=

5	5

=b4，由此可知b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由题设猜想当n≥2时，

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

，再通过导数证明猜想正确，从而得到数列{b_n}的最大项是b2=

3	3

．
（4）由题设条件知cncn+2=lg(n+1)lg(n+3)＜[

lg(n+1)+lg(n+3)

2

]2=[

lg(n+1)lg(n+3)

2

]2＜[

lg(n+2)2

2

]2=c_n+1²，由此知{c_n}不是等比数列．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d
，则65=10a1+

10×9

2

d
且a₁=2，得d=1，从而a_n=n+1
故bn=

n+1	n+1

；
（2）b1=

2

=

6	23

＜

6	32

=

3	3

=b2b3=

4	4

=

2

=b1，
b3=

4	4

=

20	45

＞

20	54

=

5	5

=b4
∴b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由（2）猜想{b_n+1}递减，即猜想当n≥2时，

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

考察函数y=

lnx

x

 (x＞e)，当x＞e时lnx＞1y′=

1-lnx

x2

＜0
故y=

lnx

x

在（e，+∞）上是减函数，而n+1≥3＞e
所以

ln(x+2)

x+2

＜

ln(x+1)

x+1

，即

n+2	n+2

＜

n+1	n+1

于是猜想正确，因此，数列{b_n}的最大项是b2=

3	3

；
（4）{c_n}不是等比数列
由c_n=lga_n=lg（n+1）知
cncn+2=lg(n+1)lg(n+3)＜[

lg(n+1)+lg(n+3)

2

]2
=[

lg(n+1)lg(n+3)

2

]2＜[

lg(n+2)2

2

]2
=lg²（n+2）
=c_n+1²
故{c_n}不是等比数列．

点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．