Question

三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且

m

=（

cosB

，

2

），

n

=（sinB，

3

），满足

m

∥

n

（1）若cosA=

1

3

，求sinC的值；
（2）若b=

7

，sinA=3sinC，求三角形ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用向量共线的坐标表示和同角的平方关系，两角和的正弦公式，即可化简求得sinC；
（2）运用正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可计算得到．

解答： 解：（1）由于

m

=（

cosB

，

2

），

n

=（sinB，

3

），满足

m

∥

n

，
则

2

sinB=

3

•

cosB

，即有2sin²B=3cosB，
即2-2cos²B=3cosB，解得，cosB=

1

2

，
则sinB=

1- 1 4

=

3

2

，
cosA=

1

3

，则sinA=

1- 1 9

=

2 2

3

，
即有sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA
=

3

2

×

1

3

+

1

2

×

2 2

3

=

3 +2 2

6

；
（2）由正弦定理，sinA=3sinC，即为a=3c，
由余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB，
即有7=9c²+c²-6c²×

1

2

，解得，c=1，a=3，
则三角形ABC的面积为

1

2

acsinB=

1

2

×3×1×

3

2

=

3 3

4

．

点评：本题考查向量共线的坐标表示，考查同角的平方关系和两角和的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．