Question

15．若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，则双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$的渐近线方程为（　　）

• A． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$
• B． $y=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x$
• C． $y=±\frac{1}{2}x$
• D． y=±x

Answer 1

分析 利用椭圆的离心率，得到ab关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{1}{2}$，
解得3a²=4b²，
可得$\frac{a}{b}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$的渐近线方程为$y=±\frac{2\sqrt{3}}{3}x$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．