Question

（本小题满分14分）

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x₁)－f(x₂)，且当x＞1时，

f(x)＜0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性

(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)＜－2.

 

Answer 1

【答案】

答：(1)令x₁＝x₂＞0，……………………1分

代入得f(1)＝f(x₁)－f(x₁)＝0，故f(1)＝0. ……………………3分

(2)任取x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁＞x₂，则＞1，……………………5分

由于当x＞1时，f(x)＜0，所以f＜0，即f(x₁)－f(x₂)＜0，………………7分

因此f(x₁)＜f(x₂)，

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．……………………9分

(3)由f＝f(x₁)－f(x₂)得f＝f(9)－f(3)，……………………11分

而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. ……………………12分

由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，

由f(|x|)＜f(9)，得|x|＞9，……………………13分

∴x＞9或x＜－9.

因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜－9}．……………………14分

 

【解析】略