Question

设函数f(x)=

1

4x+2

，
（1）求证：对一切x∈R，f（x）+f（1-x）为定值；
（2）记an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)

(n∈N*)，

求数列{a_n}的通项公式及前n项和．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=

1

4x+2

，知f（x）+f（1-x）=

1

4x+2

+

1

41-x+2

=

1

2

．所以对一切x∈R，f（x）+f（1-x）为定值

1

2

．
（2）由（1）知f（0）+f（1）=

1

2

，f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=

1

2

，f(

2

n

)+f(

n-2

n

)=

1

2

，…，f(1)+f(0)=

1

2

，将上述n+1个式子相加，得2an=

n+1

2

，由此能求出数列{a_n}的通项公式及前n项和．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1

4x+2

，
∴f（x）+f（1-x）=

1

4x+2

+

1

41-x+2

=

1

4x+2

+

4x

4+2•4x

=

2+4x

4+2•4x

=

1

2

．
所以对一切x∈R，f（x）+f（1-x）为定值

1

2

．
（2）由（1）知f（0）+f（1）=

1

2

，
f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=

1

2

，
f(

2

n

)+f(

n-2

n

)=

1

2

，
…
f(1)+f(0)=

1

2

，
将上述n+1个式子相加，得2an=

n+1

2

，
∴an=

n+1

4

，
∴Sn=

1

4

[2+3+4+…+(n+1)]
=

1

4

•

n(n+3)

2

=

n(n+3)

8

．

点评：本题考查对一切x∈R，f（x）+f（1-x）为定值的证明，求数列{a_n}的通项公式及前n项和．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．