Question

【题目】已知椭圆： 过点，点， 是椭圆上异于长轴端点的两个点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知直线： ，且，垂足为， ，垂足为，若且，求中点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 点的轨迹方程为（）.

【解析】试题分析：（1）点带入椭圆方程，解得，易得椭圆的离心率；（2）由，且，易得： .分类讨论直线AB的斜率情况，

联立椭圆方程，易得： ，借助韦达定理，易得（）.

试题解析：

（1）依题意， ，解得，

故椭圆的方程为，则其离心率为．

（2）设直线与轴相交于点， ， ，

由于，即，且，

得， （舍去）或，

即直线经过点，设， ， 的中点，

①直线垂直于轴时，则的重担为；

②直线与轴不垂直时，设的方程为，则

整理得，

， ， ，

消去，整理得（）．经检验，点也满足此方程．

综上所述，点的轨迹方程为（）．