Question

4．已知抛物线C：x²=4y，M为直线l：y=-1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（2）若P（x₀，y₀）是C上的任意点，求证：P点处的切线的斜率为$k=\frac{1}{2}{x_0}$；
（3）证明：以AB为直径的圆恒过点M．

Answer 1

分析 （1）设过M点的切线方程，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程；
（2）由已知抛物线解析式变形得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，求出导函数y′=$\frac{1}{2}$x，即可得证；
（3）设出切点A与B坐标分别为A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），表示出切线MA与切线MB的方程，再由切线MA与MB过M，将M坐标分别代入得到两个关系式，x₁，x₂是方程-1=$\frac{1}{2}$x₀x-$\frac{1}{4}$x²的两实根，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，再表示出两向量$\overrightarrow{MA}$与$\overrightarrow{MB}$，将表示出两根之和与两根之积代入计算$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值为0，即可得到以AB为直径的圆恒过点M．

解答 解：（1）当M的坐标为（0，-1）时，
设过M点的切线方程为y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，
令△=16k²-16=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），
因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，
从而过M，A，B三点的圆的方程为x²+（y-1）²=4．
（2）证明：抛物线C：x²=4y，导数为y′=$\frac{1}{4}$•2x=$\frac{1}{2}$x，
可得P（x₀，y₀）是C上的任意点，
P点处的切线的斜率为$k=\frac{1}{2}{x_0}$；
（3）证明：设切点分别为A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
∴k_MA=$\frac{{x}_{1}}{2}$，k_MB=$\frac{{x}_{2}}{2}$，
切线MA的方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
切线MB的方程为y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂），即y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
又因为切线MA过点M（x₀，-1），
所以得-1=$\frac{1}{2}$x₀x₁-$\frac{1}{4}$x₁²，①
又因为切线MB也过点M（x₀，-1），
所以得-1=$\frac{1}{2}$x₀x₂-$\frac{1}{4}$x₂²，②
所以x₁，x₂是方程-1=$\frac{1}{2}$x₀x-$\frac{1}{4}$x²的两实根，
由韦达定理得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4，
因为$\overrightarrow{MA}$=（x₁-x₀，$\frac{1}{4}$x₁²+1），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-x₀，$\frac{1}{4}$x₂²+1），
所以$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（$\frac{1}{4}$x₁²+1）（$\frac{1}{4}$x₂²+1）
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{16}$+$\frac{1}{4}$（x₁²+x₂²）+1
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{16}$+$\frac{1}{4}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+1，
将x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4代入，得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，
则以AB为直径的圆恒过点M．

点评 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两函数图象的交点，韦达定理，平面向量的数量积运算，两点间的距离公式，以及圆的切线方程，是一道综合性较强的试题．