Question

13．已知数列：{a_n}满足（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1（n∈N^*），且a₁=1．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1（n∈N^*）变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，进而利用累乘法计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 （1）证明：∵（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=$\frac{3}{1}$•$\frac{5}{3}$•…•$\frac{2n-1}{2n-3}$
=$\frac{2n-1}{1}$
=2n-1，
故数列{a_n}为等差数列；
（2）解：由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．