Question

如图，已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线PQ方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得k_BP+k_BQ=0，再由已知k_BP•k_BQ=-3可解得，，由此可知∠BNM与∠BMN的大小，由三角形内角和定理可得∠MBN．
解答：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得x²-2pkx+2p=0，△＞0，
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，
，，
=
===0，即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP•k_BQ=-3②，
联立①②解得，，
所以，，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=，
故选D．
点评：本题考查直线、抛物线方程及其位置关系等知识，解决本题的关键是通过计算发现直线BP、BQ斜率互为相反数．