Question

已知函数f(x)=sin2x+2

3

sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)-cos2x-

3

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求f（x）在(-

π

12

，

25π

36

)上的值域．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f（x）=2sin(2x-

π

6

)，所以函数f（x）的最小正周期为：T=

2π

2

=π．利用整体思想结合正弦函数的单调性可得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

(k∈Z)．
（2）当x∈(-

π

12

，

25π

36

)时，利用整体思想可得2x-

π

6

∈(-

π

3

，

11π

9

)，进而得到f（x）在(-

π

12

，

25π

36

)上的值域．

解答：解：（1）由题意可得：f(x)=sin2x+2

3

sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)-cos2x-

3

=2

3

sin2(x+

π

4

)-cos2x-

3

=

3

sin2x-cos2x
=2sin(2x-

π

6

)
所以函数f（x）的最小正周期为：T=

2π

2

=π
因为令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
所以可得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

(k∈Z)．
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

](k∈Z)．
（2）当x∈(-

π

12

，

25π

36

)时，所以2x-

π

6

∈(-

π

3

，

11π

9

)，
所以sin(2x-

π

6

)∈(-

3

2

，1]．
所以f（x）在(-

π

12

，

25π

36

)上的值域是(-

3

，2]．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式与两角和（差）的正余弦公式，以及掌握正弦函数的有关性质，注意在解决此部分问题时常用的思想是整体思想．