Question

根据抛物线的光学原理：一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点．然后求解此题：抛物线y²=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，一水平光线射到A点后，反射光线会平行y轴，一水平光线射到B点后，反射光线所在直线的斜率为 ．
（Ⅰ）求直线AB的方程．
（Ⅱ）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得焦点F（1，0），且FA⊥x轴，所以A （1，2），同理得到B（4，-4），由此能求出直线AB的方程．
（2）法一：设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y），且1≤x≤4，-4≤y≤2．由点P到直线AB的距离d=，由此得到△PAB的面积最大值和此时P点坐标．
法二：，由此得到△PAB的面积最大值和此时P点坐标．
解答：解：（1）由已知得焦点F（1，0），
且FA⊥x轴，
∴A （1，2），
同理，
得到B（4，-4），
所以直线AB的方程为2x+y-4=0．（6分）
（2）法一：设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y），
且1≤x≤4，-4≤y≤2．
则点P到直线AB的距离d=，
所以当y=-1时，d取最大值，
又（10分）
所以△PAB的面积最大值为，
此时P点坐标为．（12分）
法二：，
∴，
∴△PAB的面积最大值为，
此时P点坐标为．
点评：本题考查直线方程的求法和求△PAB的最大面积．综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．