Question

设集合A={a，a²，b²-1}，B={0，|a|，b}，且A=B．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)=-bx-

a

x

的单调递增区间，并证明．

Answer 1

分析：（1）观察集合关系，由于两集合相等，发现其对应特征，建立方程求出a，b的值
（2）将a，b的值代入，先判断单调性，再用定义法证明即可．

解答：解：（1）两集合相等，观察发现a不能为O，故只有b²-1=0，得b=-1，或b=1
当b=-1时，故b与a对应，所以a=-1，
如果b=1则必有|a|=1，B不成立；
故a=-1，b=-1…4分
（2）由（1）得f(x)= x+

1

x

，因为x∈R时，当x＞0时，f(x)= x+

1

x

≥2，x=1时取得最小值，
函数f(x)= x+

1

x

的单调增区间为（-∞，-1]，[1，+∞）；函数是奇函数，单调减区间为：（-1，0），（0，1）．
①在[1，+∞）是增函数
任取x₁，x₂∈[1，+∞）令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，又x₁x₂＞1，故1-

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
故f(x)= x+

1

x

，在[1，+∞）是增函数．
因为函数f(x)= x+

1

x

是奇函数，所以（-∞，-1]也是增函数；…8分
②函数在x∈（0，1）时，
任取x₁，x₂∈（0，1），令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，又1＞x₁x₂＞0，故1-

1

x1x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
故f(x)= x+

1

x

，在（0，1）是减函数．
因为函数f(x)= x+

1

x

是奇函数，所以（-1，0）也是减函数．
综上函数f(x)= x+

1

x

的单调增区间为（-∞，-1]，[1，+∞）；
单调减区间为：（-1，0），（0，1）．…12分

点评：本题考查集合相等的概念以及函数单调性的证明方法--定义法，解答第二小问时要注意步骤，先判断再证明，注意分类讨论思想的应用．