Question

求证：(1)平行六面体的各对角线交于一点，并且在这一点互相平分．

(2)对角线相等的平行六面体是长方体．

已知：平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁

求证：(1)对角线AC₁、BD₁、CA₁、DB₁相交于一点，且在这点互相平分；

(2)若AC₁＝BD₁＝CA₁＝DB₁时，该平行六面体为长方体．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵AA1∥BB1，BB1∥CC1， 　　∴AA1∥CC1． 　　∴对面角A1ACC1是平行四边形． 　　∴CA1与AC1相交，且互相平分． 　　设CA1∩AC1＝0，则O为CA1，AC1的中点． 　　同理，可证DB1与AC1及AC1与D1B也相交于一点，且互相平分． 　　交点也是O． 　　∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一点，且互相平分． 　　(2)∵平行六面体AC1的对角线面A1C1CA、B1D1DB都是平行四边形．且它们的对角线A1C、B1D、C1A、D1B都相等． 　　∴对角面A1C1AC，B1D1DB都是矩形． 　　因此CC1⊥A1C1 　　∴BB1⊥B1D1 　　又∵BB1∥CC1 　　∴BB1⊥A1C1 　　∴BB1⊥平面A1C1 　　∴平行六面体A1C是直平行六面体 　　同理可证：CB⊥平面A1B，则BC⊥AB． 　　∴平面四边形ABCD是矩形． 　　∴直平行六面体A1C是长方体．