Question

（2013•崇明县二模）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，根据经验知道，次品数p（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：p=

x2 6 ，(1≤x＜4) x+ 3 x - 25 12 ，(x≥4)

．已知每生产l万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生l万件次品将亏损10万元．（实际利润=合格产品的盈利-生产次品的亏损）
（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润T（万元） 表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件） 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？

Answer 1

分析：（1）根据题目条件写出在x的不同范围内的合格的元件间数，然后由实际利润=合格产品的盈利-生产次品的亏损将生产这种元件所获得的实际利润T（万元） 表示为日产量x（万件）的函数；
（2）分别利用配方法和函数的单调性求函数在连段内的最值，最后取两段的最大之中的最大者．

解答：解：（1）当1≤x＜4时，合格的元件数为x-

x2

6

（万件），
利润T=20(x-

x2

6

)-10×

x2

6

=20x-5x2（万元）；
当x≥4时，合格的元件数为x-(x+

3

x

-

25

12

)=

25

12

-

3

x

（万件），
利润T=20(

25

12

-

3

x

)-10(x+

3

x

-

25

12

)=

125

2

-

90

x

-10x（万元），
综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润为T=

20x-5x2，1≤x＜4 125 2 - 90 x -10x，x≥4

．
（2）当1≤x＜4时，T=20x-5x²=-5（x-2）²+20
∴当x=2（万件）时，利润T的最大值20（万元）；
当x≥4时，T=

125

2

-

90

x

-10x=

125

2

-(10x+

90

x

)
令y=10x+

90

x

，则y′=10-

90

x2

=

10(x+3)(x-3)

x2

，
当x∈[4，+∞）时，y^′＞0，所以y=10x+

90

x

在[4，+∞）上是单调递增，
所以函数T（x）在[4，+∞）上是减函数，
则当x=4时，利润T的最大值0．      
综上所述，当日产量定为2（万件）时，工厂可获得最大利润20万元．
答：当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件） 定为2（万件）时获得的利润最大，最大利润为20万元．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了配方法及利用导数研究函数的最值，注意分段函数的最值要分段求，此题是中档题．