Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）（c为常数）
（1）证明：{

an

n

}是等差数列；
（2）若{a_n}是正数组成的数列，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得数列{

an

}是等差数列，并说明理由．
（3）问是否存在正整数p，q（p≠q）使a_p=a_q成立？若存在，请写出c满足的条件，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）化简变形得

an+1

n+1

-

an

n

=c，然后根据等差数列的定义进行判定即可；
（2）根据（1）求出a_n的通项公式，而{

an

}是等差数列的充要条件是

an

=an+b，然后化简变形可求出c的值；
（3）若要使存在正整数p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c，然后求出c的值，注意p+q的范围．

解答：解：（1）∵na_n+1=（n+1）a_n+cn（n+1）
∴

an+1

n+1

=

an

n

+c，即

an+1

n+1

-

an

n

=c
从而数列{

an

n

}是首项为1，公差为c的等差数列
（2）由（1）可得 

an

n

=1+（n-1）c，即a_n=cn²+（1-c）n
{

an

}是等差数列的充要条件是

an

=an+b
即a²n²+2abn+b²=n²+（1-c）n
∴c=1
（3）若要使存在正整数p，q（p≠q）使a_p=a_q成立，
则p+p（p-1）c=p+q（q-1）c
∴p+q=1-

1

c

，又p+q≥3
令p+q=k（k∈N且k≥3），则c=

1

1-k

（k∈N且k≥3）．

点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及新数列是等差数列的充分不必要条件，同时考查了计算能力，属于中档题．