Question

椭圆中，F₁、F₂为左、右焦点，A为短轴一端点，弦AB过左焦点F₁，则△ABF₂的面积为

1. A.
   3
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：先判断△AOF₁是等腰直角三角形，△AOF₂也是等腰直角三角形，从而△F₁AF₂也是等腰直角三角形，故可得∠BAF₂=90°，设|BF₁|=x，根据椭圆定义，x+|BF₂|=2a=2，利用勾股定理，AB²+AF₂²=BF₂²，可求得x=，从而可求△ABF₂的面积．
解答：由题意，a=，b=，c=，|OA|=|OF₁|=，
∴△AOF₁是等腰直角三角形，同理△AOF₂也是等腰直角三角形，
∴△F₁AF₂也是等腰直角三角形，
∴|F₁A|=|F₂A|=，
∴∠BAF₂=90°，
设|BF₁|=x，根据椭圆定义，x+|BF₂|=2a=2．
根据勾股定理，AB²+AF₂²=BF₂²，
（+x）²+（）²=（2-x）²，
∴x=，
∴S_△ABF2=|AB|×|AF₂|=（+）×=4．
故选D．
点评：本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆焦点三角形的面积，解题的关键是求出判断出∠BAF₂=90°．