Question

【题目】已知A(4, 0)，B（2, 2），C (6, 0)，记△ABC的外接圆为⊙P．

（1）求⊙P的方程．

（2）对于线段PA上的任意一点G，是否存在以B为圆心的圆，在圆B上总能找到不同的两点E、F，满足=，若存在，求圆B的半径的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）设⊙P的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(4, 0)，B（2, 2），C (6, 0)代入圆方程，解方程组即可得结果；（2）假设存在圆B: 满足题意， ，又A(4, 0)， PA的直线方程是： ，设G（m, n）（），设F(x, y)，则中点，根据E、F在圆B上可得，进而可得结果.

试题解析：(1) 解法一：设⊙P的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

因为点A，B，C均在所求圆上，所以

解得

故⊙P的方程是．

解法二： A(4, 0)，B（2, 2），C (6, 0)，

AB的中垂线方程为： ，①

AC的中垂线方程为： ,②

联立①②可得圆心，

半径，

故⊙P的方程是．

（2）假设存在圆B: 满足题意，

，又A(4, 0)，

PA的直线方程是： ，

设G（m, n）（）

则有， ，

设F(x, y)，则中点，

由E、F在圆B上可得：，

即，①

存在E、F即方程组①有解，即圆与圆有公共点，

所以，

把代入可得

故对任意恒成立，

在上单调递减，在单调递增，

， ，

，解得，

又 E为线段GF的中点， E、F在圆B上，

G在圆B外

，即在恒成立