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有下列命题:
①如果幂函数f (x)=(m2-3m+3)xm2-m-1的图象不过原点,则m=l或2;
②数列{an}为等比数列的充要条件为an=a1qn-1(q为常数):
③已知向量
a
=(t,2),
b
=(-3,6),若向量
a
b
的夹角为锐角,则实数t的取值范围是t<4; 
④函数f (x)=xsinx在(0,π)上有最大值,没有最小值.
其中正确命题的个数为(  )
分析:①幂函数的图象不过原点,所以幂指数小于0,系数为1,求解即可.
②根据等比数列的性质可知若数列{an}为等比数列,可以推出an=a1qn-1,反之可以利用特殊值法进行判断;
③已知向量
a
=(t,2),
b
=(-3,6),根据公式cosθ=
a
b
|
a
|•|
b
|
利用此信息进行求解;
④求出其导数,在(0,π)上通过研究单调性的变化即可获得问题的解答;
解答:解:①幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-1的图象不过原点,所以
m2-m-1<0
m2-3m+3=1
解得m=1,符合题意.故①错误;
②若数列{an}为等比数列可以推出an=a1qn-1;若an=a1qn-1,取q=0,可得an=0,故②错误;
③向量
a
=(t,2),
b
=(-3,6),若向量
a
b
的夹角为锐角,设为θ,cosθ=
a
b
|
a
|•|
b
|
>0,即-3t+12>0解得t<4,
首先若
a
b
可以推出两个向量共线,此时(t,2)=λ(-3,6),可得t=-1,
∴t≠-1,故t<4且t≠-1;
故③错误;
④由题意可知:f′(x)=sinx+xcosx.
当x∈(0,
π
2
),可得f′(x)>0,x∈(
π
2
,π),可得f′(x)<0,
函数在[0,
π
2
]上单调递增,同上可知函数在(0,π)上为先增后减的函数,又所给区间为开区间,
∴函数f (x)=xsinx在(0,π)上有最大值,没有最小值.
故④正确;
故选B;
点评:本题考查的是函数的性质分析问题.在解答的过程当中成分体现了导数的知识、函数最值的知识、向量的内积.值得同学们体会和反思.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•荆门模拟)下列命题中正确的是
①②③
①②③

①如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点,则m=1或m=2;
②定义域为R的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和;
③已知直线a、b、c两两异面,则与a、b、c同时相交的直线有无数条;
④方程
y-3
x-2
=
y-1
x+3
表示经过点A(2,3)、B(-3,1)的直线;
⑤方程
x2
2+m
-
y2
m+1
=1表示的曲线不可能是椭圆.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

有下列命题:
①如果幂函数f (x)=(m2-3m+3)xm2-m-1的图象不过原点,则m=l或2;
②数列{an}为等比数列的充要条件为an=a1qn-1(q为常数):
③已知向量
a
=(t,2),
b
=(-3,6),若向量
a
b
的夹角为锐角,则实数t的取值范围是t<4; 
④函数f (x)=xsinx在(0,π)上有最大值,没有最小值.
其中正确命题的个数为(  )
A.0B.1C.2D.3

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省枣庄市高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

有下列命题:
①如果幂函数f (x)=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m=l或2;
②数列{an}为等比数列的充要条件为an=a1qn-1(q为常数):
③已知向量=(t,2),=(-3,6),若向量的夹角为锐角,则实数t的取值范围是t<4; 
④函数f (x)=xsinx在(0,π)上有最大值,没有最小值.
其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省枣庄市高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

有下列命题:
①如果幂函数f (x)=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m=l或2;
②数列{an}为等比数列的充要条件为an=a1qn-1(q为常数):
③已知向量=(t,2),=(-3,6),若向量的夹角为锐角,则实数t的取值范围是t<4; 
④函数f (x)=xsinx在(0,π)上有最大值,没有最小值.
其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3

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