Question

【题目】一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中M ，N 分别是AF、BC 的中点

（1）求证：MN∥平面CDEF；

（2）求多面体A-CDEF的体积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．

（1）取BF的中点G，连接MG、NG，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论

（2）多面体A-CDEF的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积．

（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=，

，连结BE，M在BE上，连结CE

EM=BM，CN=BN，所以∥，所以平面

（2）取DE的中点H．

∵AD=AE，∴AH⊥DE，

在直三棱柱ADE-BCF中，

平面ADE⊥平面CDEF，

平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．

∴多面体A-CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH=．

S矩形CDEF=DEEF=，

∴棱锥A-CDEF的体积为．