Question

数列{a_n}中，若存在常数M，?n∈N*，均有|a_n|≤M，称数列{a_n}是有界数列；把Ln=

n

i=1

|ai+1-ai|(n∈N*)叫数列{a_n}的前n项邻差和，数列{L_n}叫数列{a_n}的邻差和数列．
（1）若数列{a_n}满足，?n∈N*，均有|a_n+3|+|a_n-1|≤6恒成立，试证明：{a_n}是有界数列；
（2）试判断公比为q的正项等比数列{a_n}的邻差和数列{L_n}是否为有界数列，证明你的结论；
（3）已知数列{a_n}、{b_n}的邻差和{L_n}与{L'_n}均为有界数列，试证明数列{a_nb_n}的邻差和数列{L''_n}也是有界数列．

Answer 1

分析：（1）利用零点，将绝对值符号化去，则式子|a_n+3|+|a_n-1|≤6可化为

an≤-3 -an-3-an+1≤6

⇒-4≤an≤-3或

-3＜an＜1 an+3-an+1≤6

⇒-3＜an＜1或

an≥1 an+3+an-1≤6

⇒1≤an≤2，由此可知{a_n}是有界数列．  
（2）由依题a_n＞0，q＞0，a_n=a₁q^n-1，于是|a_n+1-a_n|=|a₁qⁿ-a₁q^n-1|=a₁q^n-1|q-1|，n≥1，利用有界数列的定义，对公比q进行分类讨论即可
（3）若数列{a_n}、{b_n}是有界数列，则存在正数M₁．M₂，对任意的n∈N^•，有Ln=

n

i=1

|ai+1-ai|≤M1，L′n=

n

i=1

|bi+1-bi|≤M2，利用|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1-a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M₁+|a₁|，|b_n|≤M₂+|b₁|，K₁=M₁+|a₁|，K₂=M₂+|b₂|，利用邻差和的定义即可证数列{a_nb_n}的邻差和数列{L''_n}也是有界数列．

解答：解：（1）式子|a_n+3|+|a_n-1|≤6可化为

an≤-3 -an-3-an+1≤6

⇒-4≤an≤-3…（1分）
或

-3＜an＜1 an+3-an+1≤6

⇒-3＜an＜1…（2分）
或

an≥1 an+3+an-1≤6

⇒1≤an≤2…（3分）
综上可知-4≤a_n≤2，从而|a_n|≤4，故{a_n}是有界数列．  …（4分）
（2）由依题a_n＞0，q＞0，a_n=a₁q^n-1，于是|a_n+1-a_n|=|a₁qⁿ-a₁q^n-1|=a₁q^n-1|q-1|，n≥1
当q=1时，显然L_n=0，故{L_n}为有界数列；      …（5分）
当q≠1时，Ln=

n

i=1

|ai+1-ai|=

n

i=1

a1qi-1|q-1|=a1|q-1|

n

i=1

qi-1
=a₁|q-1|（1+q+q²+…+q^n-1）=a1|q-1|•

1-qn

1-q

当0＜q＜1时，|L_n|=L_n=a₁（1-qⁿ）＜a₁，故{L_n}为有界数列；   …（7分）
当q＞1时，?常数M（M＞0），?n∈N^*，当n＞logq(1+

M

a1

)时，有L_n＞M，此时{L_n}不是有界数列；        …（8分）
综上可知，当0＜q≤1时，{L_n}为有界数列，当q＞1时，{L_n}不是有界数列．…（9分）
（3）若数列{a_n}{b_n}是有界数列，则存在正数M₁，M₂，对任意的n∈N^*，有Ln=

n

i=1

|ai+1-ai|≤M1，L′n=

n

i=1

|bi+1-bi|≤M2…（10分）
注意到|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1-a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M₁+|a₁|…（11分）
同理：|b_n|≤M₂+|b₁|
记K₁=M₁+|a₁|，K₂=M₂+|b₂|
|a_n+1b_n+1-a_nb_n|=|a_n+1b_n+1-a_nb_n+1+a_nb_n+1-a_nb_n|≤|b_n+1||a_n+1-a_n|+|a_n||b_n+1-b_n|≤K₂|a_n+1-a_n|+K₁|b_n+1-b_n|…（12分）
因此 |Ln|=Ln=

n

i=1

|ai+1bi+1-aibi|≤

n

i=1

K2|an+1-an|+

n

i=1

K1|bn+1-bn|=K2

n

i=1

|an+1-an|+K1

n

i=1

|bn+1-bn|≤K2M1+K1M2
故数列{a_nb_n}的邻差和数列{L''_n}也是有界数列．         …（14分）

点评：本题以数列为载体，考查新定义，考查分类讨论思想，同时考查放缩法的运用，解题的关键是理解新定义，正确运用新定义解题．