Question

如图四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，设E为BC的中点，二面角P-DE-A为45°．
（1 ） 求点A到平面PDE的距离；
（2 ） 在PA上确定一点F，使BF∥平面PDE；
（3 ） 求平面PDE与平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）要想求点到面的距离，必须过点找到底面的垂线，即AH⊥面PDE，那么AH为点A到平面PDE的距离，然后再求线段的长度即可；（2）根据线面平行的判定定理可知，只有在面内找到一条线与已知直线平行，即BF∥EH，线线平行从而达到线面平行的目的；（3）根据定义先作出二面角的平面角，即∠AOH为平面PDE与平面PAB二面角的平面角，然后解三角形即可得到角的大小．

解答：解：由题意知
（1）∵DE为正△BCD的中线
∴DE⊥BC
∵AD∥BC
∴DE⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD且DE⊆面ABCD
∴DE⊥PD
即∠PDA为二面角P-DE-A的平面角
又∵∠PDA=45°且PA=AD
∴△PAD为等腰直角三角形
 作AH⊥PD于H，则DE⊥AH
∴AH⊥平面PDE
又∵PA=AD=2
∴AH=

2

即点A到平面PDE的距离为

2

．  
（2）取PA的中点为F，连接BF，HF
∵F，H分别是PA，PD的中点
∴在△PAD内，HF∥AD且HF=

1

2

AD
又∵EB∥AD且EB=

1

2

AD
∴EB∥HF且EB=HF
∴四边形FHEB为平行四边形
∴BF∥EH且EH⊆面PDE
∴BF∥平面PDE．
（3）设AB∩DE=M，连PM，作HO⊥PM于O，连AO
∵AH⊥面PDM，且PM⊆面PDM
∴AH⊥PM
又∵HO⊥PM
∴PM⊥面AOH，且AO⊆面AOH
∴PM⊥AO
∴∠AOH为所求二面角的平面角，
∵AO=

4 5

5

∴sin∠AOH=

AH

AO

=

10

4

即∠AOH=arcsin

10

4

故平面PDE与平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小arcsin

10

4

．

点评：本题主要考查点到面的距离，线面平行的证明及二面角大小的求法，还是有一定的难度．