Question

4．已知x∈R⁺，求z=$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{3-2x}$的最大值．

Answer 1

分析 将函数式两边平方，再由基本不等式可得最大值．

解答 解：z=$\sqrt{2x+1}$+$\sqrt{3-2x}$，
两边平方可得z²=4+2$\sqrt{（2x+1）（3-2x）}$，
由（2x+1）（3-2x）≤（$\frac{2x+1+3-2x}{2}$）²=4，
当且仅当2x+1=3-2x，即x=$\frac{1}{2}$时，取得等号．
即有x=$\frac{1}{2}$时，z取得最大值，且为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查根式函数的最值的求法，考查平方法的运用，基本不等式的运用，属于中档题．