Question

（本题满分16分）

设数列的通项是关于x的不等式　 的解集中整数的个

数。（1）求并且证明是等差数列；

（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：＋≥；

（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，

请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）不等式即

解得：，其中整数有2n-1个

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………3分

由通项公式可得：，所以数列是等差数列…………………4分

（2）由（1）知，∴ S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．

由 

≥=0，

即≥． ………………………………………………………………10分

（3）结论成立，证明如下：

设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则，

∵

，

把代入上式化简得

=≥0，

∴ S_m+S_p≥2S_k．

又=

≤

，

∴ ≥．

故原不等式得证．………………………………………………………………16分