Question

6．△ABC满足BA=BC=3$\sqrt{2}$，∠ABC=120°，D在AC上，且∠DBC=30°，若$\overrightarrow{BD}$=λ₁$\overrightarrow{BC}$+λ₂$\overrightarrow{BA}$，求λ₁+2λ₂．

Answer 1

分析 画出图形，根据条件可以得到∠ABD=90°，∠BAD=30°，然后对$\overrightarrow{BD}={λ}_{1}\overrightarrow{BC}+{λ}_{2}\overrightarrow{BA}$的两边分别乘以向量$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BA}$，然后进行向量数量积的运算便可得到关于λ₁，λ₂的二元一次方程组，解出λ₁，λ₂从而便可得出λ₁+2λ₂．

解答 解：如图，根据条件得，∠ABD=90°，∠BAD=30°；

∴BD=AB•tan30°=3$\sqrt{2}$$•\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{6}$；
∴在$\overrightarrow{BD}={λ}_{1}\overrightarrow{BC}+{λ}_{2}\overrightarrow{BA}$两边分别乘以$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BA}$得：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}={λ}_{1}{\overrightarrow{BC}}^{2}+{λ}_{2}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BA}={λ}_{1}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}+{λ}_{2}{\overrightarrow{BA}}^{2}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{6}•3\sqrt{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}=18{λ}_{1}-9{λ}_{2}}\\{0=-9{λ}_{1}+18{λ}_{2}}\end{array}\right.$；
解得，${λ}_{1}=\frac{2}{3}，{λ}_{2}=\frac{1}{3}$；
∴${λ}_{1}+2{λ}_{2}=\frac{4}{3}$．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，向量垂直的充要条件，以及正切函数的定义．