Question

5．已知函数f（x）=alnx-x，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x₁、x₂，且x₁＜x₂．
①求实数a的取值范围；
②试比较x₁+x₂与2e（e为自然对数的底数）的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出．
（2）①通过求导，得出切点坐标，找到函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；
②x₁=alnx₁，x₂=alnx₂，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，t＞1，用含t的式子表示x₁，x₂，得到x₁+x₂=$\frac{a（t+1）lnt}{t-1}$，构造函数，求出函数的最小值为2a，问题得以解决．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$-1=$\frac{a-x}{x}$，x＞0
当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，
令f′（x）=0，解得x=a，
当f′（x）＞0，即0＜x＜a时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x＞a时，函数单调递减，
综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，函数f（x）在（a，+∞）上单调递减，在（0，a）上单调递增；
（2）令f（x）=0，∴lnx=$\frac{1}{a}$x，
画出函数g（x）=lnx，h（x）=$\frac{1}{a}$x的图象，如图示：
，
∵g′（x）=$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$，∴切点坐标是（a，lna），
把（a，lna）代入h（x）=$\frac{1}{a}$x，得：a=e，
∴若y=f（x）有两个零点x₁，x₂，
即g（x），h（x）有2个交点，只需a＞e即可；
∴a的范围是（e，+∞）：
②∵x₁=alnx₁，x₂=alnx₂，
∴x₂-x₁=aln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，t＞1
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-{x}_{1}=alnt}\\{{x}_{2}=t{x}_{1}}\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{alnt}{t-1}$，x₂=$\frac{atlnt}{t-1}$，
∴x₁+x₂=$\frac{alnt}{t-1}$+=$\frac{atlnt}{t-1}$=$\frac{a（t+1）lnt}{t-1}$
令m（x）=$\frac{a（x+1）lnx}{x-1}$，（x＞1），
则m′（x）=$\frac{a（{x}^{2}-1-2xlnx）}{x（x-1）^{2}}$，
∵a＞e，x（x-1）²＞0，
令n（x）=x²-2xlnx-1，
则n′（x）=2（x-lnx-1）＞0，
∴n（x）在（1，+∞）递增，
∴n（x）＞n（1）=0，
∴m′（x）＞0，m（x）在（1，+∞）递增，
根据洛必达法则，$\underset{lim}{x→1}$$\frac{a（x+1）lnx}{x-1}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{a（1+\frac{x+1}{x}）}{1}$=2a，
∵a＞e，
∴2a＞2e，
∴x₁+x₂＞2e

点评 本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目，属于难题．