Question

15．若双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线的倾斜角是直线l：x-2y+1=0倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由题意，tanα=$\frac{1}{2}$，tan2α=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，得出$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，利用e=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$得出结论．

解答 解：由题意，tanα=$\frac{1}{2}$，tan2α=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
故选A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查二倍角公式的运用，属于中档题．