Question

已知函数f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（I）若函数f（x）在区间(0，

1

2

)上是减函数，求实数a的取值范围．
（II）试讨论函数f（x）是否既有极大值又有极小值？若有，求出a的取值范围；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意函数f(x)在区间(0，

1

2

)上是减函数，等价于函数在此区间上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可
（II）由函数求导函数为：f′(x)=

-2x2+ax-1

x

，接着针对字母a的取值范围求该函数在定义域下的极值即可．

解答：解：（I）由f（x）=-x²+ax+1-lnx得f′(x)=-2x+a-

1

x

，
∵f（x）在区间(0，

1

2

)上是减函数，∴当x∈(0，

1

2

)时，f′(x)=-2x+a-

1

x

＜0恒成立，
即a＜2x+

1

x

恒成立，令g（x）=2x+

1

x

，则g^′（x）=2-

1

x2

∵x∈(0，

1

2

)时，

1

x2

＞4，∴g^′（x）=2-

1

x2

＜0
∴g（x）=2x+

1

x

在区间(0，

1

2

)上是减函数，
∴g(x)＞g(

1

2

)=3，∴a≤3．

（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f（x）得到：f^′（x）=-2x+a-

1

x

=

-2x2+ax-1

x

=0，得-2x²+ax-1=0，△=a²-8
①当-2

2

＜a＜2

2

时，△=a2-8＜0，-2x²+ax-1＜0恒成立，所以f^′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）不存在极值；
②当a=±2

2

时，-2x2+ax-1≤0，∴f^′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）不存在极值；
③当a＜-2

2

时，由f′（x）=0得：x₁=

a- a2-8

4

，x2=

a+ a2-8

4

∵x₁＜0∉（0，+∞）∴f（x）在（0，+∞）不可能存在两个极值点；
④当a＞2

2

时，由f′（x）=0得：x₁=

a- a2-8

4

，x2=

a+ a2-8

4

    此时，x₂＞x₁＞0，f^′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

由表可以知道，f（x₁）是f（x）的极小值，f（x₂）是f（x）的极大值；综上：当a≤-2

2

时，f（x）不可能即有极大值又有极小值；
当a＞2

2

时，f（x）即有极大值f（x₂），又有极小值f（x₁）．

点评：此题考查了求导函数，此题考查了恒成立问题，还考查了求函数的极值及解题时等价转化的思想．