Question

15．设f（x）=$\frac{{5}^{x}}{{5}^{x}+\sqrt{5}}$为正整数．
（1）f（1）+f（0）和f（x）+f（1-x）的值；
（2）数列{a_n}的通项公式为a_n=f（$\frac{n}{m}$），求数列{a_n}的前m项的和S_m．

Answer 1

分析 （1）代入利用指数幂的运算性质即可得出．
（2）a_n=f（$\frac{n}{m}$）=$\frac{{5}^{\frac{n}{m}}}{{5}^{\frac{n}{m}}+\sqrt{5}}$，可得a_m-n=$f（\frac{m-n}{m}）$=$f（1-\frac{n}{m}）$=1-a_n，a_n+a_m-n=1．于是数列{a_n}的前m项的和S_m=a₁+a₂+…+a_m，S_m=a_m+a_m-1+…+a₁，可得2S_m=a_m+1+1+…+a_m=2a_m+（m-1），

解答 解：（1）f（1）+f（0）=$\frac{5}{5+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1}$+$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$=1．
f（x）+f（1-x）=$\frac{{5}^{x}}{{5}^{x}+\sqrt{5}}$+$\frac{{5}^{1-x}}{{5}^{1-x}+\sqrt{5}}$=$\frac{{5}^{x}}{{5}^{x}+\sqrt{5}}$+$\frac{5}{5+\sqrt{5}•{5}^{x}}$=$\frac{{5}^{x}}{{5}^{x}+\sqrt{5}}$+$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+{5}^{x}}$=1．
（2）a_n=f（$\frac{n}{m}$）=$\frac{{5}^{\frac{n}{m}}}{{5}^{\frac{n}{m}}+\sqrt{5}}$，
a_m-n=$f（\frac{m-n}{m}）$=$f（1-\frac{n}{m}）$=1-a_n，
∴a_n+a_m-n=1．
∴数列{a_n}的前m项的和S_m=a₁+a₂+…+a_m，
S_m=a_m+a_m-1+…+a₁，
∴2S_m=a_m+1+1+…+a_m=2a_m+（m-1），
∴S_m=a_m+$\frac{m-1}{2}$=f（1）+$\frac{m-1}{2}$=$\frac{5}{5+\sqrt{5}}$+$\frac{m-1}{2}$=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$+$\frac{m-1}{2}$=$\frac{m+3-\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查了指数幂的运算法则、数列“倒序相加法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．