Question

【题目】设f（x）=x3+x，x∈R，当0≤θ≤π时，f（mcosθ）+f（sinθ﹣2m）＜0恒成立，则实数m的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（ ，+∞）
【解析】解：∵f（x）=x3+x，∴f（x）在R上递增且为奇函数，
∴当0≤θ≤π时，f（mcosθ）+f（sinθ﹣2m）＜0等价为：
当0≤θ≤π时，f（mcosθ）＜﹣f（sinθ﹣2m）=f（2m﹣sinθ），
即mcosθ＜2m﹣sinθ，
即m（2﹣cosθ）＞sinθ
∵0≤θ≤π，∴2﹣cosθ＞0，
则不等式等价为m＞
设g（θ）= ，则g′（θ）= = ，
∵0≤θ≤π，
∴由g′（θ）=0得cosθ= ，即θ= ，
由g′（θ）＞0得cosθ＞ ，即0＜θ＜ ，
由g′（θ）＜0得cosθ＜ ，即 ＜θ＜π，
即当θ= 时，g（θ）取得极大值g（ ）= = = ，
则m＞ ，
所以答案是：（ ，+∞）
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．