Question

已知点F₁（-1，0），F₂（1，0），动点G满足|GF1|+|GF2|=2

2

．
（Ⅰ）求动点G的轨迹Ω的方程；
（Ⅱ）已知过点F₂且与x轴不垂直的直线l交（Ⅰ）中的轨迹Ω于P、Q两点．在线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用条件，根据椭圆的定义，可求动点G的轨迹Ω的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程与椭圆方程联立，根据MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，可得(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

，则有(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0，利用向量的数量积公式，结合韦达定理，即可求出实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由|GF1|+|GF2|=2

2

，且|F1F2|＜2

2

知，动点G的轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆，
设该椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞0， b＞0)，c=

a2-b2

，
由题知c=1，a=

2

，
则b²=a²-c²=2-1=1，
故动点G的轨迹Ω的方程是

x2

2

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）假设在线段OF₂上存在M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．
直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．（6分）

MP

=(x1-m，y1)，

MQ

=(x2-m，y2)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，其中x₂-x₁≠0．
由于MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，
∴(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

，则有(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0，（8分）
从而（x₂+x₁-2m，y₂+y₁）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0，
∴（x₂+x₁-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
又y=k（x-1），
则y₂-y₁=k（x₂-x₁），y₂+y₁=k（x₂+x₁-2），
故上式变形为(x2+x1-2m)+k2(x2+x1-2)=0，（10分）
将x1+x2=

4k2

1+2k2

代入上式，得(

4k2

1+2k2

-2m)+k2(

4k2

1+2k2

-2)=0，
即2k²-（2+4k²）m=0，
∴m=

k2

1+2k2

（k≠0），可知0＜m＜

1

2

．
故实数m的取值范围是(0， 

1

2

)．（13分）

点评：本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．