Question

19．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}$x
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间
（2）已知f（α）=2+$\sqrt{3}$，且$α∈[0，\frac{π}{3}]$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间
（2）由$f（α）=2+\sqrt{3}$，得$2sin（2α+\frac{π}{6}）+2=2+\sqrt{3}$，结合$α∈[0，\frac{π}{3}]$，求α的值．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2•\frac{1+cos2x}{2}+1=\sqrt{3}sin2x+cos2x+2$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$
所以最小正周期为 $T=\frac{2π}{2}=π$
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$
所以f（x）的单调递增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]（k∈Z）$…（6分）
（2）由$f（α）=2+\sqrt{3}$，得$2sin（2α+\frac{π}{6}）+2=2+\sqrt{3}$，
所以$sin（2α+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
所以$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}+2{k_1}π$，或$2α+\frac{π}{6}=\frac{2π}{3}+2{k_2}π$（k₁，k₂∈Z）
即$α=\frac{π}{12}+{k_1}π$或$α=\frac{π}{4}+{k_2}π$，
因为 $α∈[0，\frac{π}{3}]$，所以$α=\frac{π}{12}$…（12分）

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．