Question

设直线x+ky-1=0被圆O：x²+y²=2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x-y-1=0位置关系为（　　）

• A、相离
• B、相切
• C、相交
• D、不确定

Answer 1

分析：先利用垂径定理得出点M的轨迹是一个以OA为直径的圆，再求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，即可得到正确答案．

解答：解：如图，直线x+ky-1=0恒过定点A（1，0），
由平面几何知识得，OM⊥AM，
从而中点M的轨迹是以OA为直径的圆，
其方程为：（x-

1

2

）²+y²=

1

4

，
由圆的方程得到圆心坐标（

1

2

，0），半径r=

1

2

，
则圆心（

1

2

，0）到直线x-y-1=0的距离d=

1

2 5

＜r=

1

2

，
所以直线与圆的位置关系是相交．
故选C．

点评：此题考查轨迹方程、学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．