【题目】已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若,时,恒成立,求m的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)求出,求出切点处的导数值,即为切线的斜率,求出,由直线的点斜式方程可求出切线的方程.
(2)分为和两种情况进行讨论,,运用导数求出当,,三种情况下的的最值,从而可求出参数的取值范围.
(1)由,得,
所以,.
所以曲线在点处的切线方程为,即.
(2)当时,,则时,恒成立.
当时,,, 当时,恒成立;
当,时,恒成立等价于.
令,则,
设,则,,,
所以在上递增,所以的值域为,
①当,即时,,为上的增函数,
所以,符合条件;
②当,即时,,为上的减函数,
所以当时,,不符合条件,舍去;
③当,即时,存在,使,且时,,此时,不符合条件,舍去
综上,所求的m的取值范围为.
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【题目】已知某种新型病毒的传染能力很强,给人们生产和生活带来很大的影响,所以创新研发疫苗成了当务之急.为此,某药企加大了研发投入,市场上这种新型冠状病毒的疫苗的研发费用(百万元)和销量(万盒)的统计数据如下:
研发费用(百万元) | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 14 |
销量(万盒) | 1 | 1 | 2 | 2.5 | 4 | 4.5 |
(1)根据上表中的数据,建立关于的线性回归方程(用分数表示);
(2)根据所求的回归方程,估计当研发费用为1600万元时,销售量为多少?
参考公式:,.
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【题目】在直角坐标系中,圆的方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求圆的极坐标方程与直线的直角坐标方程;
(2)设直线与圆相交于,两点,求圆在,处两条切线的交点坐标.
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【题目】已知圆经过点与直线相切,圆心的轨迹为曲线,过点做直线与曲线交于不同两点,三角形的垂心为点.
(1)求曲线的方程;
(2)求证:点在一条定直线上,并求出这条直线的方程.
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【题目】已知三棱柱的侧棱和底面垂直,且所有顶点都在球O的表面上,侧面的面积为.给出下列四个结论:
①若的中点为E,则平面;
②若三棱柱的体积为,则到平面的距离为3;
③若,,则球O的表面积为;
④若,则球O体积的最小值为.
当则所有正确结论的序号是( )
A.①④B.②③C.①②③D.①③④
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【题目】在极坐标系中,点P的坐标是,曲线C的方程为.以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为的直线l经过点P.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l和曲线C相交于两点A,B,求的值.
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【题目】甲、乙两队进行排球比赛,采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束).根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中,甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以领先,则下列说法中错误的是( )
A.甲队获胜的概率为B.乙队以获胜的概率为
C.乙队以三比一获胜的概率为D.乙队以获胜的概率为
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