Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0）、B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为2+2

2

．记动点C的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）经过点（0，

2

）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
（Ⅲ）已知点M（

2

，0），N（0，1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

MN

共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用条件找到|AC|+|BC|=2

2

＞2，得动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2

2

的椭圆除去与x轴的两个交点．代入椭圆的方程即可．
（Ⅱ）直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，等价于把直线方程和椭圆方程联立后对应的方程有两个不等根，利用其判别式大于0即可．
（Ⅲ）先把直线方程和椭圆方程联立后找到向量

OP

+

OQ

的坐标，利用向量

OP

+

OQ

与

MN

共线求出对应的k的取值，看其是否让（Ⅱ）成立即可．

解答：解：（Ⅰ）设C（x，y），
∵|AC|+|BC|+|AB|=2+2

2

，|AB|=2，
∴|AC|+|BC|=2

2

＞2，
∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2

2

的椭圆除去与x轴的两个交点．
∴a=

2

，c=1．∴b²=a²-c²=1．
∴W：

x2

2

+y2=1（y≠0）．（2分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+

2

，代入椭圆方程，得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理，得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0．①（5分）
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．
∴满足条件的k的取值范围为k∈(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)（7分）
（Ⅲ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由①得x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

．②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

③
因为M(

2

，0)，N（0，1），所以

MN

=(-

2

，1)．（11分）
所以

OP

+

OQ

与

MN

共线等价于x₁+x₂=-

2

(y1+y2)．
将②③代入上式，解得k=

2

2

．
所以不存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

MN

共线．（13分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题．一般在研究直线与曲线有两个不同的交点问题时，等价于把直线方程和曲线方程联立后对应的方程有两个不等根，利用其判别式大于0即可．