Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为8，对角线B₁C=10，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面C₁BD
（Ⅱ）求二面角C-DB-C₁的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接B₁C，设B₁C与BC₁交于点E，连接DE，根据DE是△CAB₁的中位线，证明DE∥AB₁，从而证得AB₁∥平面C₁BD．
（Ⅱ）由条件证明∠C₁DC=θ即为二面角C-DB-C₁的平面角，求出CD和CC₁的长度，在△CDC₁中，由tanθ=

CC1

CD

=

3

2

，求出cosθ=

2

13

13

，即为所求．

解答：解：（Ⅰ）连接B₁C，设B₁C与BC₁交于点E，连接DE，由正三棱柱性质知E为B₁C中点，
又D为AC的中点，∴DE是△CAB₁的中位线，
∴DE∥AB₁，
又DE?平面BDC₁，AB₁?平面C₁BD，∴AB₁∥平面C₁BD．
（Ⅱ）∵D为AC的中点，由正三棱柱性质知，BD⊥侧面AC₁，CC₁⊥平面ABC，故∠C₁DC=θ即为二面角C-DB-C₁的平面角，
∵CD=

1

2

AB=4，CC1=

BC12-BC2

=6，
在△CDC₁中，tanθ=

CC1

CD

=

3

2

，∴cosθ=

2

13

13

，
故二面角C-DB-C₁的余弦值为

2

13

13

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，求二面角的大小的方法，找出二面角的平面角，是解题的关键．