Question

已知椭圆的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足．，点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足，．
（1）设x为点P的横坐标，证明；
（2）求点T的轨迹C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出点P的坐标（x，y），利用两点间的距离公式和椭圆方程，将其化为关于变量x的代数式，再利用椭圆中a²=b²+c²的性质，将所得代数式化简即可得证；
（2）依题意先证明T为线段QF₂的中点，从而在三角形QF₁F₂中，点T到点O的距离为定值a，利用定义法即可判断其轨迹为圆，写出其标准方程即可
解答：解：（1）证明：设点P的坐标为（x，y）．由P（x，y）在椭圆上，得
由x≥a知a+x≥-c+a＞0，
所以 ．
（2）解：设点T的坐标为（x，y）．当时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上．
当||≠0且时，由，得．
又，所以T为线段F₂Q的中点．
在△QF₁F₂中，，所以有x²+y²=a²．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x²+y²=a²．
点评：本题综合考查了椭圆焦半径公式的证明方法，定义法求动点轨迹问题的方法，椭圆的标准方程及定义的用法，解决此题有一定的运算难度和思维难度