Question

【题目】如图，已知AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F.

(1)求证：E，F，G，B四点共圆；

(2)若GF＝2FA＝4，求线段AC的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）连结BG，由AB为直径可知∠AGB=90°，又CD⊥AB，由此能证明E、F、G、B四点共圆；

（2）连结BC，由E、F、G、B四点共圆，运用切割线定理，得AFAG=AEBA，再由直角三角形ABC中的射影定理，得AC2=AEBA，代入数据，即可求出线段AC的长．

试题解析：

解：(1)证明：如图，连接GB，由AB为圆O的直径可知∠AGB＝90°.

又CD⊥AB，所以∠AGB＝∠BEF＝90°.

因此E，F，G，B四点共圆．

(2)连接BC.

由E，F，G，B四点共圆得AF·AG＝AE·AB.

又AF＝2，AG＝6，

所以AE·AB＝12.

因为在Rt△ABC中，AC2＝AE·AB，所以AC＝2.