Question

已知曲线C：

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)．
（1）曲线C经过点(

3

，

1

2

)，求b的值；
（2）动点（x，y）在曲线C，求x²+2y的最大值；
（3）由曲线C的方程能否确定一个函数关系式y=f（x）？如能，写出解析式；如不能，再加什么条件就可使x、y间建立函数关系，并写出解析式．

Answer 1

分析：（1）由题意将点(

3

，

1

2

)，代入求b的值即可；
（2）动点（x，y）在曲线C上，可把x²用y表示出来，将x²+2y表示成y的函数，此是一个关于y的二次函数，配方后对b的取值范围根据二次函数的性质进行讨论求最值即可；
（3）根据函数的定义判断即可，由于本题中可以出现一对二的对应，故不是函数，证明方法用函数的定义进行证明．

解答：解：（1）

3 2

4

+

1

4b2

=1(b＞0)∴b=1；
（2）根据

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)得x2=4(1-

y2

b2

)，∴x2+2y=4(1-

y2

b2

)+2y=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4(-b≤y≤b)，当

b2

4

≥b时，即b≥4时(x2+2y)max=2b+4，
当

b2

4

≤b时，即0≤b≤4时(x2+2y)max=

b2

4

+4，
∴(x2+2y)max=

2b+4，b≥4 b2 4 +4，0≤b＜4

；
（3）不能，如再加条件xy＜0就可使x、y之间建立函数关系，
解析式y=

- 1- x2 b2  x＞0 1- x2 b2 ，x＜0

（不唯一，也可其它答案）．

点评：本题考查函数与方程的给定运用，考查了与方程有关的解析式的最值的求法，将问题转化为二次函数的最值，这是与方程有关的问题经常采用的一个思路，本小题易出错，第三问对函数的定义的考查较简单．