Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE是边长为6的正三角形．
（1）求证：平面DEC⊥平面BDE；
（2）求二面角C-BE-D的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：

分析：（1）根据勾股定理证明BD⊥CD，BD⊥DE，可得BD⊥平面DEC，利用平面与平面垂直的判定定理，即可证明平面DEC⊥平面BDE；
（2）求出S_△CBE、S_△BED，即可求二面角C-BE-D的余弦值．

解答： （1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，所以BD=

13

，
又因为BC=7，CD=6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，
因为BE=7，DE=6，同理可得BD⊥DE．
因为DE∩CD=D，DE?平面DEC，CD?平面DEC，
所以BD⊥平面DEC．
因为BD?平面BDE，
所以平面DEC⊥平面BDE；
（2）解：在△CBE中，BC=7，CE=6，BE=7，∴S_△CBE=

1

2

×6×

49-9

=6

10

，
在△BED中，BD=

13

，DE=6，BE=7，∴S_△BED=

1

2

×6×

13

=3

13

，
∴二面角C-BE-D的余弦值为

3 13

6 10

=

130

20

．

点评：本题考查平面与平面垂直，考查二面角C-BE-D的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．