将一块圆心角为

半径为a的扇形铁片截成一块矩形，如图，有两种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上（图1）或让矩形一边与弦AB平行（图2）
（1）在图1中，设矩形一边PM的长为x，试把矩形PQRM的面积表示成关于x的函数；
（2）在图2中，设∠AOM=θ，试把矩形PQRM的面积表示成关于θ的函数；
（3）已知按图1的方案截得的矩形面积最大为

，那么请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？说明理由．

【答案】分析：（1）求出PM，RM的值，利用面积公式可得结论；
（2）利用正弦定理求RM，OR，再利用面积公式可得结论；
（3）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数求最值，即可得到结论．
解答：解：（1）PM=QR=x，在Rt△QRO中，OR=

在Rt△PMO中，OM=

，∴RM=OM-OR=

…（2分）
∴

，

…（3分）
（2）∠MRA=

，∠MRO=

，
在△OMR中，由正弦定理，得：

，即RM=2a•sinθ，…（6分）
又

，∴OR=2a•sin（

-θ），…（8分）
又正△ORQ中，QR=OR=2a•sin（

-θ）
∴矩形的MPQR的面积为S=MR•PQ=4a²•sinθ•sin（

-θ）

…（9分）
（3）对于（2）中的函数

…（11分）
当

，即

时，

…（13分）
∵

，故按图1的方案能得到最大面积的矩形．…（14分）
点评：本题考查函数模型的建立，考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．

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